現状、できません。
他社サービス・サーバーで公開中のWebサイトを、独自ドメインをそのままにSTUDIOへと切り替える際、サイトにアクセスできない時間帯（ダウンタイム）が必ず発生します。
Webサイトの切り替えは、一般的に次の流れです。
この１〜４の間が、Webサイトのダウンタイムとなります。
DNS側で、独自ドメインのレコード設定をSTUDIOのIPアドレスへ変更する
※AAAAレコード、CAAレコードなどは削除してください変更したレコード設定が反映され、外部から参照できる状態になってから、STUDIOプロジェクト内の公開パネルで独自ドメインを接続する
数時間以内に証明書の発行が完了
公開パネルでサイトを「公開（更新）」する
レコード設定の変更反映に必要な時間は、DNSサーバー側の設定・仕様次第です。
2〜48時間とアナウンスされることが多く、正確には各サービス様にご確認ください。
レコード設定の変更反映状況は、外部から誰でも参照できます。
その手段の一つがこちらのツールです。
STUDIOのTLS証明書発行は、複数地域でのドメイン解決が必要です。上記ツールで、一部地域がエラーになっていると、発行に失敗しリトライに時間がかかることがあります。
DNS側のサーバー状況が不安定、またはSTUDIOの証明書発行システム側が混み合っている場合、通常より時間がかかる場合があります。4時間経っても接続しない場合、開発側で証明書の手動発行を試みますので、ログイン後 画面右下 「チャットで問い合わせる」からご連絡ください。